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🧮 미분방정식 입자 V3.0
변수분리 · 지수성장·감쇠 · 고등 미적분
ads_click 격자를 클릭해 초기값을 놓거나, 재생 버튼으로 입자를 움직이세요
방정식 y' = k·y | 해석해 y = C·e^(k·t)

function 방정식 프리셋

tune 파라미터

k 0.50
초기값 y(0) 1.00
초기시각 t(0) 0.00
스텝 h 0.050
재생 속도 1.0×

calculate 수치해법

t0.000 y(t)1.000 해석값1.000 오차0.000

handyman 제어

변수분리: dy/y = k·dt → ln|y| = k·t + C → y = C·e^(k·t). 청록 선=방향장, 분홍 선=해석해, 파랑 입자=수치해.

school 변수분리와 지수 성장·감쇠

1. 변수분리법
dy/dt = f(t)·g(y) 꼴은 dy/g(y) = f(t)·dt로 양변을 분리해 적분합니다. dy/dt = k·y는 ∫dy/y = ∫k·dt.
2. 지수 성장·감쇠
dy/dt = k·y → y(t) = y₀·e^(k·t). k>0이면 지수 성장(세포 분열·복리), k<0이면 지수 감쇠(방사성 붕괴·온도 식음·RC 회로).
3. 반감기·배가시간
y = y₀/2가 되는 시각은 t½ = ln 2 / |k|. 예: 탄소-14 k≈−0.000121/yr → t½≈5730년.
4. 등가속·직선 적분
dy/dt = g (상수) → y = y₀ + g·t. dy/dx = x → y = x²/2 + C.
5. Euler vs RK4
Euler: y_{n+1} = y_n + h·f(t_n,y_n), 전역오차 O(h).
RK4는 4단계 가중평균으로 전역오차 O(h⁴). h를 절반으로 줄이면 Euler 오차는 1/2, RK4 오차는 1/16.
6. 검증 예시
dy/dt = 0.5·y, y(0)=1, t=2에서 해석해는 e^(0.5·2) = e ≈ 2.71828. RK4 (h=0.05)로도 오차 < 1e-6 수준 재현됩니다.
방향장 · 기울기 선분
해석해 y(t)
수치해 입자 (Euler/RK4)
수치해 궤적
quiz 미분방정식 수업 문제