P(t) = K / (1 + c·e^(−rt))
r = 0.50 · K = 1000 · P₀ = 10
로지스틱 P(t)
지수 P₀e^(rt)
수용능력 K
tune 파라미터
function 해석해 P(t)
미분방정식
dP/dt = r · P · (1 − P/K)
해석해 (변수분리)
P(t) = K / (1 + c·e−rt)
P(t) = 1000 / (1 + 99·e−0.50t)
상수 c = (K−P₀)/P₀
c = 99.00
analytics 평가값
t5.0
P(t)109.8
지수 P₀e^(rt)121.8
dP/dt48.9
변곡점 t*9.19
P(t*) = K/2500
lightbulb 개념
로지스틱 성장은 자원이 유한할 때 자기제한 성장을 기술한다. P가 작을 때는
dP/dt ≈ rP (지수성장), P → K 에 가까워지면 (1−P/K) 항이 0에 가까워져 성장이 멈춘다. 변곡점은 P = K/2에서 발생.
public 실생활·과학
🐟
개체군 생태학
Verhulst 1838 — 물고기·박테리아 개체수의 환경수용능력 K
🦠
전염병 확산 (SIR)
초기 지수 → 면역인구 증가로 포화 (S-곡선)
📱
기술 채택 곡선
Bass 모델 · 스마트폰·전기차 보급률의 S-커브
🧪
효소 반응속도
Michaelis-Menten · 기질 포화로 반응속도 Vmax 한계
🧠
신경망 활성화
시그모이드 σ(x) = 1/(1+e^(−x)) · 로지스틱의 표준형