몬티홀 · 조건부 확률의 역설

P(A|B) = P(A∩B) / P(B)

몬티홀 이론값 → 바꾸기 2/3 · 유지 1/3

touch_app 문 3개 중 하나에 자동차가 있고 나머지 2개는 염소. 문 하나를 선택하세요.

총 라운드

바꾸기 승률

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유지 승률

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어떤 희귀병의 유병률은 1%. 검사의 민감도(실제 환자일 때 양성 판정) = 99%, 특이도(건강할 때 음성 판정) = 95%입니다.
양성 판정을 받았을 때 실제로 병일 확률 P(병 | 양성)은?

P(병 | 양성) = P(병∩양성) / P(양성) = 0.0099 / 0.0594 ≈ 0.1667 = 16.67%

⚡ 직관의 함정: 검사 정확도가 99%여도 양성일 때 실제 병일 확률은 16.7%밖에 안 됩니다. 유병률(prior)이 낮기 때문입니다.

A = 선택한 문(1번)에 자동차. B = 사회자가 3번을 연다(2번이 아닌).
대칭성을 위해 처음 선택은 1번, 자동차 위치는 균등 분포 가정.

① 자동차 위치별 사전확률

P(차=1) = P(차=2) = P(차=3) = 1/3

② 사회자가 3번을 열 조건부 확률

P(B | 차=1) = 1/2 (2·3 중 선택)

P(B | 차=2) = 1 (3만 가능)

P(B | 차=3) = 0 (차가 있는 문은 열지 않음)

③ P(B)

P(B) = (1/2)(1/3) + (1)(1/3) + (0)(1/3) = 1/2

④ 결론

P(차=1 | B) = (1/2·1/3)/(1/2) = 1/3 (유지)

P(차=2 | B) = (1·1/3)/(1/2) = 2/3 (바꾸기) ✓

기본 몬티홀
문 3개, 사회자가 반드시 염소 문을 연다. 바꾸기 승률 = 2/3.

문 개수 N 3

N개 문에서 바꾸기 승률 = (N-1)/N. 10개면 90%.

선택

공개

결정